A nagy pestis-járvány Közép-Ázsiából származik

A Fekete Halálról, azaz a pestisről már írtam párszor. A legutóbbi alkalommal is az volt a végkicsengés, hogy Közép-Ázsiából hurcolták be a pestist Európába. Most se lesz másképp.

A pestis-t a Yersinia pestis baktérium okozza. A XIV. századi járvány pár év alatt Európa lakosságának egy jelentős részét elvitte. Talán ez is közrejátszik, hogy a téma kutatásaúgy a történelmi, mint a biológiai oldalról is jelentős.

A genomszekvenálás, azaz élőlények (vagy vírusok) geneikai állományának meghatározása, egyre olcsóbb és hatékonyabb lesz. Ez különösen érdekes a régészeti genomika esetében, azaz amikor több száz vagy akár több ezer éves mintákból lehet DNS-t kinyerni és annak szekvenciáját meghatározni.

Kórokozók esetében a régmúlt minták elemzése két kérdésre adhat választ: (1) pontosan mi is váltotta ki az adott járványt / megbetegedést, és (2) az honnan származott. Az (1)-es kérdésre sem mindig triviális a válasz. Sem az írásos emlékek, sem a kor orvoslásának színvonala nem biztos, hogy lehetővé teszi a pontos megállapítását, hogy milyen betegség pusztított. Még ma sem egyszerű csak a tünetek alapján elkülöníteni himlőket vagy akár megfázásos tűneteket okozó kórokozókat. A most ismertetett esetben egyértelművé vált, hogy pestis végzett azokkal, akiknek maradványát elemezték.

A térképen látható a régészeti leletek két forrása. Forrás: Spyrou et al. 2022

A mai Kirgisztán területén levő Kara-Djigach és Burana temetőinek feltárásakor (a XIX. században) igen sok sírkövet találtak az 1338-1339 periódusban, ami valamilyen járványra utal. „Kórság” mint halálok pár sírfeliraton is szerepelt. Ettől persze ez még akármi is lehetett, és itt jön képbe a fent említett genomikai bizonyítása a kórokozónak. Bebizonyosodott, hogy pestis végzett az emberekkel. Egész pontosan a pestis baktérium genetikai anyaga kimutatható volt a tetemekből. Ez fertőzés nélkül nem képzelhető el.

A 1338-1339-es Közép-Ázsiai járvány időben pont az európai 1346–1353-es Fekete Halál előtt van, így akár felmerülhet, hogy a kettőnek van valami köze egymáshoz. Ennek vizsgálatára a bakteriális szekvenciákat kell összehasonlítani más pestisbaktérium szekvenciákkal.

Pestisbaktérium genetikai anyagának szekvenciái két forrásból ismertek. Az egyik a jelenleg a baktériummal fertőzött rágcsálópopulációkban található baktériumok (rágcsálókról ugrál át emberre ez a kórokozó). Ezek Európában, Afrikában és Amerikában zömében visszavezethetőek a Fekete Halál járványra (ezeket 1-4 számjeggyel jelzett ágakként azonosítják). A másik forrás a történelmi időkből származó minták. Mind a Fekete Halál időszakából, mint későbbi járványokból (járványhullámokból) származó minták. Ezek ugyanúgy régészeti minták, mint amilyen az ebben a tanulmányban tárgyalt. 

A régészeti leletekből ismert azon DNS minták amelyek a XIV. századi nagy pestisjárvány idejéből származnak, hasonlóak ehhez a DNS mintához. Az időben távolibbak pedig egyre messzebb vannak ettől, de a leszármazás feltételezhető (lásd ábra). A 0-s számjelű ág Ázsiában ma is megtalálható. Ezek egy részéhez közel áll a minta, azaz valahol ott helyben alakulhatott ki. Sőt a ma a környékünkön megtalálható 1-4 jelű ág, elágazásához áll legközelebb.

A felhasznált pestisbaktérium szekvenciák eredete és törzsfája. A szürke pontok mai szekvenciákat jelölnek, eredetük nem jelzett a minitérképen. A középső lilás pont a tanulmányban bemutatott szekvencia. A kék szekvenciák a Fekete Halál járványból valók. A sárgás-zöld és zöld szekvenciák későbbiek. Forrás: Spyrou et al. 2022

Tehát nem zárható ki, hogy a második pestisjárványt okozó baktérium valahonnan Közép-Ázsiából származik. Nem állítja senki, hogy ez Kirgisztán volt (sőt). Minden bizonnyal ez a terület is a járvány terjedésének útjában volt. A Tien-san régió lehetett a kiindulópont.

Azt azonban nem tudjuk, hogy pontosan hogyan kerül 7-8 év alatt a kórság Európába. A sok eredetelmélet között találunk olyat, hogy a forrás a Fekete-tenger északi partvidéke, ami térben közelebb van, de az itt bemutatott új adatokkal nem cseng össze. Illetve volt olyan elmélet is, hogy a mongol horda hozta be, az viszont időben száz évvel korábbi. Mindenesetre a világ akkor is össze volt kötve, ha nem is olyan mértékben, mint most. Kereskedők és néha egész hadseregek is vándoroltak a világ egyik végéből a másikba. Velük együtt a kórokozók is terjedtek.

A jelenkornak az a tanulság, hogy ha az 1300-as években pár év elég volt egy járványnak Közép-Ázsiából Európába eljutnia, akkor higgyük el, hogy most ennél sokkal-sokkal gyorsabban terjedhet bármi. Ezért kell figyelni a felbukkanó kórságokat. És nem azért, hogy pánikot keltsünk. 

Hivatkozott irodalom

Spyrou, M.A., Musralina, L., Gnecchi Ruscone, G.A. et al. The source of the Black Death in fourteenth-century central Eurasia. Nature 606, 718–724 (2022).

A pestist Közép-Ázsiából hurcolták be újra és újra Európába

A pestis a történelmünk része, és egyben egy mikrobiológiai, egészségügyi kérdés is. Adja magát, hogy megismerése, járványtana (tehát terjedésével kapcsolatos ismeretek) nem egy-egy tudományterület kizárólagos sajátja, hanem mai divatos szavakkal élve interdiszciplináris vagy multidiszciplináris azaz tudományágak közötti együttműködés, sőt több tudományág együttműködését szükségelteti. Én általában keresem az olyan tanulmányokat, amelyek a biológia és más tudományok kapcsolatára, határterületeire épülnek. Korábban már bemutattam egy olyan tanulmányt, ahol a járványmatematika segítségével próbáltak egy történelmi kérdést megoldani. A most bemutatandó tanulmányban az ősi genomok analízise és a történelemtudomány együtt próbál arra válaszolni, hogy a pestis hol húzta meg magát, hogy több évszázadig időszakosan vissza-visszatérve sújtsa kontinensünket.

A budai várban található szentháromságszobor. Közép-Európára jellemző forma pestisjárványoknak állít emléket. Dudoros alakja az oszlopnak a bubópestis testi elváltozásaira utal (csomósan megnagyobbodó nyirokcsomók). Ez az 1709-es járványnak állít emléket. (forrás: wikipedia)

A pestist a Yersinia pestis nevű baktérium okozza. A fertőzés jellemzően nem emberről emberre terjed, hanem a patkányok bolhái a fő terjesztők. Tehát emberre bolhacsípéssel kerül a kórság, és alakul ki jellemzően a bubópestis, ami nevét a nyirokcsomók duzzanatiról kapta. Ez a betegség a fertőzöttek 30–60%-át elvitte. A ritkább tüdőpestis esetében cseppfertőzéssel emberről-emberre is terjedhet a kórság, és ez esetben szinte biztosan halállal végződik a betegség. A fertőzést továbbá fertőzött emberi szövettel vagy tárggyal való érintkezéssel is elkapható.

Az első pestisjárvány névvel a 541–747 közötti, főleg a mediterráneum környékén pusztító pestisjárványokat említik. A második pestisjárvány az Európát 1348-ban elérő, Fekete Halálnak nevezett járvánnyal kezdődött, és egészen a XIX. századik okozott kisebb kitöréseket. A Magyar Királyság területén az 1708–1741 közötti Aradi pestis ennek a járványsorozatnak a része. A török elől menekülők illetve a hadsereg hurcolta be fertőzést, amely egyes esetekben, mint például a 1738-as temesvári pestisjárvány esetébe, a királyság távolabbi részeibe is eljutott.

A harmadik pestisjárvány néven a 1855–1960 közötti jellemzően ázsiai kitöréseket említjük. Az elnevezésekből is sejthető, hogy alapvetően az Európát valamilyen módon érintő járványokról van szó. Az utolsó esetében a gyarmattartókra volt hatással a járvány, bár földrajzilag messzebb történt. Ez az európacentrikusság befolyásolhatja, hogy hogyan gondolkozunk a járványról, az újabb és újabb kitörésekről és arról hogy a kórokozó hol él túl a járványok között.

A molekuláris biológia egyik csodálatos vívmánya, hogy ha több millió éves borostyánba zárt rovarból nem is, de pár tízezer éves leletekből lehet örökítőanyagot kivonni, az elmúlt kétezer évből pedig pláne. Azaz nem csak királyaink etnikai hovatartozásán merenghetünk, hanem az embereket fertőző betegségekén is. Ugyanis ahol az emberi maradványok megmaradnak, ott a bennük levő baktériumok maradványai is jelen lehetnek. Egy ideje már gyűlnek az elmúlt pár ezer (!) évből a pestisszekvenciák.

A tanulmány a következő új szekvenciákkal járul hozzá, az egyre növekvő adatbázishoz:

• Egy svéd szekvencia az 1710–1711-es járványból. Bár ebből az időből pontos egyházi feljegyzés is lehetne az elhunytakról, sajnos azok egy 1800 körüli tűzvészben odavesztek. A holtest mellett talált érmék viszont 1667–1710 között lettek verve így az ezt követő pestis pontosan beazonosítja a maradványok korát. Láthatjuk, hogy a történelmi tudás mennyit segít az ennél pontatlanabb kormeghatározás tekintetében!
• Hat dél-tiroli mintából izolálták a pestisbaktériumot. Ez a járvány 1636-hoz köthető. Ezt a temetőt a VI. és a XVII. század között használták.
• Egy csecsenföldi minta jelentette az egyetlen Európán kívüli mintát, és mint ilyen a XVI–XVIII. századból egyedülálló.
• Egy olasz, középkori – 1363-as járványhoz köthető – tömegsírból is sikeresen izolálták a pestisbaktérium genetikai állományát. Ez a Fekete Halál idejéből való minta.

A pestisbaktérium-szekvenciák törzsfája. A szürkített részen a második járványból származó szekvenciák vannak. A zöld rész a harmincéves háborúhoz kapcsolható, míg a kék a XVIII. századi utolsó nagy kitörésekhez. A lilával jelölt német és olasz lelet a Fekete Halál időszakából való

A meglevő pestisszekvenciákat egy úgynevezett törzsfán ábrázolva azt látjuk, hogy mely szekvenciák állnak legközelebb egymáshoz. Már az önmagában megnyugtató, hogy a második pestisjárvány idejéből származó európai minták mind közel vannak egymáshoz, azaz tényleg egy járványként tekinthetünk erre az eseménysorozatra. Jól elkülönül az első pestisjárvány szekvenciájától, de a történelmi idők előtti mintáktól is (amelytől időben és így a genetikai térben is messzebb áll).

A XVII. századi olasz minták egybeesnek a korban hasonló német mintákkal (az ábra középső zöld része). Ezek a harmincéves háború (1618–1648) alatt pusztító pestisjárványhoz kapcsolhatók.

A XVIII. századi minták egybeesése külön érdekes. Svédországba feltételezhetően az Ottomán birodalomból került a 1710–1711 évi járványt okozó fertőzés. Marseille-be Szíriából került tengeri úton a ragály 1722-ben. Az időben és a törzsfán is utolsó leágazás (lásd kék rész) a csecsenföldi minta, ami így 1720 utánra tehető. Mivel itt történelmi alátámasztás nincs, ellenben feltételezhető, hogy a pestisbaktérium hasonló ütemben változik, így 1729-re tehető ez a minta (1613–1836 közé, a bizonytalanság elég jelentős). Mivel az első kettő egyértelműen a Közel-Kelethez köthető, és a csecsenföldi járvány fizikai közelsége és a történelmi ismeretek alapján inkább köthető szintén valamilyen közeli forráshoz, mintsem a francia királyságból való importnak, így kimondhatjuk, hogy ez a fertőzéshullám Ázsiából származik. Ezzel elvethetjük azt a feltételezést, hogy valahol Európában volt olyan rágcsálópopuláció, amelyben a pestis folyamatosan jelen volt a második járvány ideje alatt és forrása lenne minden kitörésnek a következő évszázadokban.

A XVIII. századi behurcolások forrásai és célpontjai a feltételezett csecsenföldi forrással együtt.

Egy korábbi tanulmány is a mellett érvel, hogy a pestis mindig valahonnan (közép) Ázsiából lett behurcolva Európába. Ezen területek (a Kaukázus és a Kaszti-tenger környéke), ahogy a csecsenföldi lelet környéke is, ma is otthont ad olyan rágcsálópopulációnak, amelyben a pestisbaktérium jelen van. Ezen helyek többségében található pestisbaktériumok az Európában a második pestisjárvány alatt keringő törzshöz hasonlók. Ez a régió lehet tehát a természetes gyűjtőhelye a pestisbaktérium rágcsáló gazdáinak.

Pestisbaktériumot hordozó rágcsálópopulációk a Független Államok Közösségén belül. A MED-el jelölt területekről, így a sárga részekről és a kaukázusi 1-es és 2-es számmal jelöltekről kimutatható a második pestisjárványt okozóhoz hasonló baktériumtörzs.

Az európacentrikus történelemszemlélet és kutatás is félrevezető lehet, amikor egy sokkal tágabb földrajzi kiterjedésű eseményt, a pestisjárványokat szeretnénk értelmezni. A korábbi jellemzően Európai minták alapján akár lehetséges is lehetett volna egy helyi gyűjtőterület (rezervoár). Az új adatok, amelyek genetikai és történelmi adatok összegzéséből jöttek, az Ázsiából való behurcolást támasztják alá.

Persze, most mondhatjuk, hogy „lám, lám ez is Ázsiából jött”. Európa viszont – legyünk őszinték – Ázsia távolnyugati csücske. Így ezen tágabb földrajzi skálán érdemes minden folyamatot vizsgálni, és nem szorítkozni Európára, annak is a nyugati részére.

A pestis lehet, hogy számunkra csak egyike a történelmi járványoknak, amelyek ma nem léteznek. A pestis azonban ma is létezik. A WHO adatai szerint a pestis által jelenleg legérintettebb államok a Kongói Demokratikus Köztársaság, Peru és Madagaszkár. A fekete himlővel ellentétben ez a betegség nem lett kiirtva, és bár korán felismerve gyógyítható, a létező rezervoárok miatt (beleértve a szibériai talajba fagyott, de felolvadóban levő kórokozókat is!) okozhatnak gondot, így folyamatos monitorozásuk erősen ajánlott.

Hivatkozott irodalom

Guellil, M., Kersten, O., Namouchi, A., Luciani, S., Marota, I., Arcini, C. A., Iregren, E., Lindemann, R. A., Warfvinge, G., Bakanidze, L., Bitadze, L., Rubini, M., Zaio, P., Zaio, M., Neri, D., Stenseth, N. C. és Bramanti, B. 2020. A genomic and historical synthesis of plague in 18th century Eurasia. Proceedings of the National Academy of Sciences, USA 117(45): 28328–28335

Kutyrev, V. V., Eroshenko, G. A., Motin, V. L., Nosov, N. Y., Krasnov, J. M., Kukleva, L. M., Nikiforov, K. A., Al’khova, Z. V., Oglodin, E. G. és Guseva, N. P. 2018. Phylogeny and classification of Yersinia pestis through the lens of strains from the plague foci of Commonwealth of Independent States. Frontiers in Microbiology 9:1106

Schmid, B. V., Büntgen, U., Easterday, W. R., Ginzler, C., Walløe, L., Bramanti, B. és Stenseth, N. C. 2015. Climate-driven introduction of the Black Death and successive plague reintroductions into Europe. Proceedings of the National Academy of Sciences, USA 112(10): 3020–3025

Az elméleti biológia és a fekete halál

A pestist okozó Yersinia pestis baktérium többféleképpen is terjedhet az emberi populációban. Leggyakoribb formái a bubópestis, amelyet rágcsálók vagy bolhák / tetvek terjesztenek, és a tüdőpestis, ami cseppfertőzéssel terjed. Ezen terjedési módok elkülönítésében lehet segítségünkre az elméleti biológia, egészen pontosan a fertőzés matematikai leírása, mivel a fertőzés dinamikája más és más.

Három nagy pestis-járványt különböztetünk meg. Az első a VI–VIII. században folyt, a 541–542 közötti bizánci járványban a lakosság 40% veszett oda. A második pestisjárvány a 1347–1352 között tomboló Fekete halál, ami Európa lakosságának 30–60%-át elpusztította. Ez a járvány - kisebb intenzitással - a XIX. századig tartott. A harmadik járvány az azóta eltelt időről szól. Ma is vannak lokális járványok, amelynek halálos áldozatai vannak, de - szerencsére - messze nem olyan mértékűek, mint a korábbiak.

A budai várban található szentháromságszobor. Közép-Európára jellemző forma pestisjárványoknak állít emléket. Dudoros alakja az oszlopnak a bubópestis testi elváltozásaira utal (csomósan megnagyobbodó nyirokcsomók). Ez az 1709-es járványnak állít emléket. (forrás: wikipedia)

A jelenlegi járványokat főleg patkányok terjesztik (patkányokon élő bolhák). A második járvány, időszakában azonban ez az átadási mód nem lehetett gyakori, Észak-Európában kevés patkány élhetett és a főleg családokban terjedő betegség közvetlenebb átadásra utal. A mai pestisjárványokban viszont az emberi bolháknak és tetveknek van nagyon csekély szerepe, így azok analógiaként nem használhatóak. A bőrünkön élő paraziták (ektoparaziták) visszaszorulóban vannak, csak nagyon fejletlen és/vagy a higiéniát figyelmen kívül hagyó helyeken jellemzőek.

A történelmi adatok egyes helyek esetében elég pontosak ahhoz, hogy napi szinten ismerjük a meghaltak számát. Ez már egy adat, amivel lehet valamit kezdeni. Egy norvég kutatócsoport a járványtanban bevett SIR modell három változatának illeszkedését vizsgálta a halálozási adatokra, hogy ez alapján eldöntse, hogy milyen átadás volt jellemző a második pestisjárványban.

A SIR modell alapja, hogy a populációt három részre osztja: azok, akik fogékonyak a betegségre (Susceptible), akik fertőztek és képesek fertőzni (Infected) és azok, akik gyógyultak (Recovered). Ez utóbbi csoport nem terjeszti a betegséget és nem is képes megfertőződni.

Legyen a fenti három differenciálegyenlet. Elsőre lehet, hogy félelmetesek, de megérthetőek. Az első egyenlet azt mondja, hogy a betegségre fogékonyak számának változása (ez ugye a dS/dt) egy negatív szám, azaz csak fogynak. Ez egybevág azzal, amit várunk. Amikor egy fertőzött és egy fogékony találkozik (ennek a valószínűsége arányos a két darabszám szorzatával, S*I, a teljes populációmérettel (S+I+R) való osztástól lesz ez találkozási gyakoriság) fertőzés történhet. Feltételezzük, hogy nagyjából véletlenszerűen találkoznak a személyek. A β paraméter adja meg, hogy milyen valószínűséggel történik fertőzés átadás találkozáskor. A második egyenlet a fertőzöttek számának változását írja le. Egyrészről itt pozitív előjellel szerepel az előbbi kifejezés, azaz, aki meg lett fertőzve, az a fogékonyak népességéből átkerül a fertőzöttekhez. A fertőzöttek a gyógyulással fogynak. Minden időintervallumban alatt a fertőzöttek (I) egy része (γ) meggyógyul. A gyógyultak pedig a fertőzöttekből "keletkeznek" (ez a harmadik egyenlet).

A járvány egy lehetséges lefolyása β=0,5 és γ=0,2 paraméterek mellett. Kezdetben 1000 fogékony egyed és 1 fertőzött volt a populációban.

A pestis, főleg az emberről-emberre közvetlenül terjedő tüdőpestis, elég halálos. Itt nem gyógyultak, hanem halottak vannak az egyenlet utolsó részében. A R helyett legyen D (Death=halottak) és ők természetesen nem számítanak az élők közé, amikor a találkozások valószínűségét osztom a teljes populációmérettel.

Ugyanazon paraméterek mellett a halálozást feltételező modell eredménye. Mindenki kihal. Itt ugyanis az immúnis gyógyultak nem védik a még meglevő fogékonyakat.

Ez utóbbi egyenletrendszer a tanulmányban is szerepel: leírja a tüdőpestis lefolyását. A paraméterek persze mások, a fertőzi együttható, β, 0,001 és 1 között lehet valahol, a betegség 2,5 nap alatt átlagosan elviszi a fertőződött személyt, így 1/γ=2,5.

A bubópestis bolhákon keresztül adódik át, ehhez a bolhának akkor kell a beteg vérét szívnia, amikor abban sok baktérium kering. Ekkor a bolha hordozóvá válik, s fertőzhet egy következő embert, amikor arra átkerül. A bubópestisből ki lehet gyógyulni. Lefolyása lassabb. Így 7 differenciálegyenlettel modellezték ezt a rendszert, ahol a bolhák népességét is külön figyelembe kell venni. Ezek leírásától a kedves olvasót megkímélem most.

Hasonlóan a 10 egyenletet tartalmazó rágcsáló - bolha - ember átadási út egyenleteit is mellőzöm. Ebben az esetben a patkányok között is terjedhet a betegség, amit a bolháik adnak tovább. Egy halott patkányon levő bolhák új gazdát keresnek, s véletlenül emberre is kerülhetnek. Ott szaporodni nem képesek, de megfertőzni az embert igen. Tehát lényegében egy patkánypestis-járvány csordul túl az emberi populációra.

Mindhárom rendszer egyes paraméterei jól becsülhetőek, másokat illesztettek a halálozási adatokra (ez az egyetlen, amit pontosan ismerünk). Majd megállapították, hogy mely egyenletrendszerrel kaphatjuk vissza legjobban az ismert halálozási számokat. Az adatok francia (1348), olasz (1400), spanyol (1490), angol (1563-1564), lengyel (1709), svéd (1710-1711), Orosz (1771) és máltai (1813) adatokra illesztették (zárójelben a járvány ideje).

A legtöbb esetben a bolha/tetű általi átadás modellje jobban illeszkedett az adatokra, mint a többi modell. Két esetben (a francia Givry és az angol Eyam település adatai) nem tudtak szignifikáns különbséget kimutatni, bármelyik modell jól (vagy éppen nem jól) illeszkedett az adatokra.

Ezek az egyenletek nem bonyolultak. Főleg, mert a megoldásukat a számítógépre lehet hagyni (a fenti görbéket én gyártottam le egy rövid kis programmal). Tehát egy nem túl nehéz módszert alkalmaztak kreatívan a szerzők egy történelmi / járványtörténeti kérdés megválaszolására. Hogyan terjedt a közép- és újkorban a pestis? A válasz úgy tűnik, hogy az embereken élő bolhák és tervek terjesztették azokat, s nem a patkányok (bolhái), mint manapság.

Ritkán szólok arról, hogy miért is választok egy cikket a bejegyzéseimhez. Ebben az esetben két oka volt: (1) Az elméleti biológia a szakmám és szeretném megmutatni milyen kérdésekre lehet választ adni modellezéssel. (2) A tanulmány egyik szerzője, a norvég tudományos akadémia volt elnöke, Nils Stenseth, múlt héten Magyarországra látogatott. A norvég és magyar kutatóintézetek keresik a kapcsolatot közös kutatásra. Volt nagyszabású előadássorozat az MTA épületében csütörtökön (feb. 15). Pénteken (feb.16) viszont az Ökológiai Kutatóintézetbe látogatott beszélgetni a kutatókkal, ahol én is jelen lehettem. És ha már pár héttel korábban volt egy érdekes cikke a PNAS-ban, így ez megerősített a választásban, hogy erről írni kell.

Hivatkozott irodalom

Dean, K. R., Krauer, F., Walløe, L., Lingjærde, O. C., Bramanti, B., Stenseth, N. C. és Schmid, B. V. 2018. Human ectoparasites and the spread of plague in Europe during the Second Pandemic. Proceedings of the National Academy of Sciences 115(6): 1304–1309

---

Egy apró Python program az alapmodell tanulmányozására:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def f(s,t):
    b = 0.5;
    g = 0.2;
    Susceptible = s[0]
    Infected = s[1]
    Recovered = s[2]
    dSdt = - b * Susceptible*Infected/(Susceptible+Infected+Recovered);
    dIdt = b * Susceptible*Infected/(Susceptible+Infected+Recovered) - g*Infected;
    dRdt = g*Infected;
    return [dSdt, dIdt, dRdt]

t = np.linspace(0,200)
start0=[1000,1,0]

s = odeint(f,start0,t)

plt.plot(t,s[:,0],'r--', linewidth=2.0)
plt.plot(t,s[:,1],'b-', linewidth=2.0)
plt.plot(t,s[:,2],'g-', linewidth=2.0)
plt.xlabel("Idö, t")
plt.ylabel("Egyedszám")
plt.legend(["S","I","R"])
plt.show()