A nyakkendőcsomók matematikája

Nyakkendőtekergetés közben egy ideje azon elmélkedem, hogy ennek kell lennie valami matematikai (topológiai) leírásának. A csomók kétféleképpen kezdődnek és mindegyik azzal fejeződik be, hogy középen kifelé áthúzzuk a szélesebb részét és az ott levő hurokba beillesztjük. Mielőtt még újra felfedeztem volna a kereket (csomótant?) ráleltem Thomas Fink és Yong Mao (1999) tanulmányára, amely a nyakkendőcsomók matematikai leírását adja, egyben felsorolja az összes lehetségeset.

Nyakkendőcsomónak tekintsük azokat a csomókat, amelyekben a keskenyebb vég köré tekerjük a vastagabbat (a hagyományosabb, klasszikus csomók ilyenek). A vékonyabb vég így mindig kihúzható a csomóból, így lazítjuk meg a nyakkendőt és vesszük le azt.

Tegyük fel továbbá, hogy amikor a nyakkendőt megkötés előtt magunkra helyezzük a szélesebb fele van a jobb oldalunkon, a vékonyabb a balon. Minden ismertetett csomó tükörszimmetrikusan is megköthető az így új csomófajtát nem eredményez. Ezen alapállást követően minden csomó úgy kezdődik, hogy keresztezzük a két szárát a nyakkendőnek. Amennyiben a nyakkendő színe van előre (azaz az látszik), úgy a vékony szár előtt azt balra húzva keresztezzük őket. Amennyiben a varrás van előre (ne lepődjünk meg, sok csomó tényleg így kezdődik), úgy a vékony szár mögött balra húzva keresztezzük a vastagabb szárat. A vékony szárhoz képest így a vastag szárat vagy balra húzva, a mögé írányítjuk, vagy mögüle balra előrefelé. Ezt a két mozdulatot rögtön nevezzük el Balra-mögé (Left-in, Li) vagy Balra-előre (Left-out, Lo).

Ezt követően két lehetőségünk van vagy jobbra (Right) húzzuk a vastag szárat, vagy középen átbújtatjuk (Centre). Ha először előre húztuk, akkor most hátra fele mozgatjuk (in), ha először hátrafelé mozgattuk, akkor most előre (out) fogjuk. Ezekkel a mozdulatokkal fogjuk leírni a csomó kötésének folyamatát. A szabályok így azok, hogy két azonos irány egymás után nem ismételhető (nem tudjuk kétszer balra mozgatni a szárat), és minden előre után hátra jön és viszont.

A nyakkendő befejezésére két lehetőség van: jobbra ki, balra hátra (ez ugye lényegében a csomó előtt tett majdnem teljes kör), középen előre és hurokba bebújtatjuk a szárat ezzel befejezve a csomót. A hagyományos nyakkendőcsomót pontosan így fejezzük be. Másik lehetőség, hogy balra ki, jobbra hátra, középen előre és bebújtatjuk a hurokba. Tehát a legvége mindig az, hogy középen előre és bebújtatjuk a hurokba.

Minden mozdulatnak adtunk egy jelet: Lo (bal előre), Li (bal hátra), Co (közpen előre), Ci (középen hátra), Ro (jobb előre), Ri (jobb hátra). Ezeknek a sorozata egy csomó, úgy, hogy vagy Lo-val vagy Li-vel kezdődik, illetve RoLiCoT-vel vagy LoRiCoT-vel végzőik (a T a hurokba illesztés és befejezés, későbbiekben nem tekintjük külön lépésnek). A kettő között annyi a megkötés (ahogy korábban írtam), hogy L után R vagy C jön, R után L vagy C, és C után L vagy R. Illetve minden i után o, és o után i. Mivel ezek mindig váltakoznak, és mindig Co-val végződik a csomó, így a páratlan lépésből álló csomók Lo-val kezdődnek, míg a párosok Li-vel.

Az egyszerű csomó (keleti csomó) az egyetlen 3 lépéses csomó, ami lényegében az egyik befejező szekvencia: LoRiCoT. Teljesíti az Lo vagy Li kezdést és az LoRiCoT befejezést. Formájára nézve hasonlít a hagyományos csomóra, aszimmetrikus.

A hagyományos csomó "képlete" LiRoLiCoT. Mivel a csomók mindig L-lel kezdődnek, így egy közvetlenül utána jövő befejezés R-rel kell kezdődjön. Ez az egyetlen 4 lépésből álló csomó. A leggyakrabban használt csomó, eredete a XIX. század közepéig nyúlik vissza. Egészen apró csomót is tud képezni, aszimmetrikus.

Az 5 lépéses csomóknál már több lehetőség van. Az LoRiCoT befejezés elé két betűt rakhatunk, de az első mindig L, és mivel páratlan lépésből áll, így Lo-val kezdődik. Tehát LoXiLoRiCoT az általános képlet, ahol az Xi lehet Ri és Ci is. Lehet továbbá befejezés az RoLiCoT, viszont az  LoXiRoLiCoT képletben az Xi csak Ci lehet, mert két R vagy két L egymás mellett nem lehet. Tehát így összesen három 5 lépéses csomó van.

Formula	Név
Lo Ri Lo Ri Co T	Kelvin
Lo Ci Ro Li Co T	Nicky
Lo Ci Lo Ri Co T	Pratt

Kelvin csomó

Nicky csomó

Pratt csomó

A hat hosszú csomóból öt darab van, mindegyik Li-vel kezdődik. A hármas befejezés mellett két mozdulat ékelődik a kezdet és a befejezés közé. Innen már egyszerűbb egy gráfon szemléltetni a lehetséges lépéseket.

Formula	Név
Li Ro Li Ro Li Co T	Victoria
Li Ro Ci Lo Ri Co T	Fél Windsor
Li Ro Ci Ro Li Co T	Fél Windsor szerű (alternatív, önkioldó)
Li Co Ri Lo Ri Co T	-
Li Co Li Ro Li Co T	-

Victoria csomó

Fél Windsor csomó

A fél Windsor alternatív formája

A névtelen 9-es csomó. Alapvetően aszimmetrikus, hosszúkás csomó. Lehet, hogy egy szétálló gallérral még jól is nézhet ki.

A névtelen 10-es csomó. Alapvetően aszimmetrikus, hosszúkás csomó (az előzőhöz képest a másik oldal fele dől). Lehet, hogy egy szétálló gallérral még jól is nézhet ki.

Az első kettő ténylegesen elnevezett csomó. A harmadik egy – szerintem – rossz megkötési módja a fél Windsor-nak. A miért viszont már képek nélkül nehezen megmutatható, sőt inkább egy videót igényelne. A harmadik csomó előnye viszont, hogy önkioldó. Ez azt jelenti, hogy amikor a keskeny végét kihúzzuk a csomóból, a csomó szétesik és a nyakkendő egyszerűen levehető / eltehető. Minden RoLiCoT-re végződő csomó ilyen (a hagyományos és a Nicky volt ilyen eddig). A többi csomót, beleértve a fél Windosr-t is, viszont levételkor ki kell bogozni. Ez már topológia. Az egyik topológiailag csak egy körbetekerése a keskeny szárnak, míg a másik ezen felül egy tényleges bog is (a szó köznapi értelmében, azaz, hogy nem jön szét).

A következő érdekes kérdés, hogy miért nem neveztek el minden csomót? A tanulmány szerzői kritériumot állítottak fel, hogy mely csomók esztétikusak. A kritérium olyan volt, hogy a jobbra és balra lépések száma közel azonos legyen (ez egyfajta szimmetriát ad a csomónak), illetve a középen való áthúzás nagyjából egyenletesen legyen elosztva a szekvenciában. A két névtelen 6 lépéses csomó teltebb, de igen aszimmetrikus csomót eredményez. Aki szereti a hagyományos csomó féloldalasságát, de egy kicsit teltebb csomóra vágyik, az szerintem simán alkalmazhatja. Ezekben én elsőre nem látom a használhatatlanságot.

Van még egy érdekesség, amivel a csomók kinézete jelentősen változtatható ugyanazon szekvencián belül. Amenyiben egy szekvenciában van LRLRCT (vagy RLRLCT) úgy két hurok van a csomónkon és dönthetünk, hogy a vastag szár előrehozásakor a felső vagy az alsó mögött fejezzük be a csomót. Az alap legyen, hogy mindig a legfelső csomó mögött bújtatjuk át a vastagabb szárat. És jelöljük TT-vel azt a befejezést, ha kívülről a második alatt bújtatjuk át a szárat. Az eredeti tanulmányok erre nem térnek ki, de honlapjuk már igen. Párat ezek közül már el is neveztek, mint a Prince Albertet (Li Ro Li Ro Li Co T T), ami a Victoria változata vagy a van Wijk-et (Li Ro Li Ro Li Ro Li Co T T T).

Prince Albert csomó

Bár a 7, 8, 9 lépéses csomóknál még vannak érdekesek (például a 8 lépéses Windsor), de ezek felsorolásától most eltekintek. Kilenc lépés felett pedig már túl nagy lesz a csomó és egyszerűen elfogy a kötni való szár, miközben alakban és főleg szimmetriában javulást nehéz elérni.

Ami miatt nagyon megtetszett ez a tanulmány, az a matematika kompakt és egzakt nyelvén való leírás. Miközben a nyakkendő kötési videókat sasolva bizony figyelni kell, hogy ki merre tekeri a nyakkendőjét (és például a Windsor esetén többféle megoldást lehet látni), addig egy ilyen szekvencia videók nélkül is tökéletesen mutatja, hogy mit kéne csinálni és nagyban leegyszerűsíti a csomókról való beszélgetést.

Hivatkozott irodalom

Fink, T. M. és Mao, Y. 1999. Designing tie knots by random walks. Nature 398(6722): 31–32

Fink, T. M. A. és Mao, Y. 2000. Tie knots, random walks and topology. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 276(1): 109–121