Az elméleti biológia és a fekete halál

A pestist okozó Yersinia pestis baktérium többféleképpen is terjedhet az emberi populációban. Leggyakoribb formái a bubópestis, amelyet rágcsálók vagy bolhák / tetvek terjesztenek, és a tüdőpestis, ami cseppfertőzéssel terjed. Ezen terjedési módok elkülönítésében lehet segítségünkre az elméleti biológia, egészen pontosan a fertőzés matematikai leírása, mivel a fertőzés dinamikája más és más.

Három nagy pestis-járványt különböztetünk meg. Az első a VI–VIII. században folyt, a 541–542 közötti bizánci járványban a lakosság 40% veszett oda. A második pestisjárvány a 1347–1352 között tomboló Fekete halál, ami Európa lakosságának 30–60%-át elpusztította. Ez a járvány - kisebb intenzitással - a XIX. századig tartott. A harmadik járvány az azóta eltelt időről szól. Ma is vannak lokális járványok, amelynek halálos áldozatai vannak, de - szerencsére - messze nem olyan mértékűek, mint a korábbiak.

A budai várban található szentháromságszobor. Közép-Európára jellemző forma pestisjárványoknak állít emléket. Dudoros alakja az oszlopnak a bubópestis testi elváltozásaira utal (csomósan megnagyobbodó nyirokcsomók). Ez az 1709-es járványnak állít emléket. (forrás: wikipedia)

A jelenlegi járványokat főleg patkányok terjesztik (patkányokon élő bolhák). A második járvány, időszakában azonban ez az átadási mód nem lehetett gyakori, Észak-Európában kevés patkány élhetett és a főleg családokban terjedő betegség közvetlenebb átadásra utal. A mai pestisjárványokban viszont az emberi bolháknak és tetveknek van nagyon csekély szerepe, így azok analógiaként nem használhatóak. A bőrünkön élő paraziták (ektoparaziták) visszaszorulóban vannak, csak nagyon fejletlen és/vagy a higiéniát figyelmen kívül hagyó helyeken jellemzőek.

A történelmi adatok egyes helyek esetében elég pontosak ahhoz, hogy napi szinten ismerjük a meghaltak számát. Ez már egy adat, amivel lehet valamit kezdeni. Egy norvég kutatócsoport a járványtanban bevett SIR modell három változatának illeszkedését vizsgálta a halálozási adatokra, hogy ez alapján eldöntse, hogy milyen átadás volt jellemző a második pestisjárványban.

A SIR modell alapja, hogy a populációt három részre osztja: azok, akik fogékonyak a betegségre (Susceptible), akik fertőztek és képesek fertőzni (Infected) és azok, akik gyógyultak (Recovered). Ez utóbbi csoport nem terjeszti a betegséget és nem is képes megfertőződni.

Legyen a fenti három differenciálegyenlet. Elsőre lehet, hogy félelmetesek, de megérthetőek. Az első egyenlet azt mondja, hogy a betegségre fogékonyak számának változása (ez ugye a dS/dt) egy negatív szám, azaz csak fogynak. Ez egybevág azzal, amit várunk. Amikor egy fertőzött és egy fogékony találkozik (ennek a valószínűsége arányos a két darabszám szorzatával, S*I, a teljes populációmérettel (S+I+R) való osztástól lesz ez találkozási gyakoriság) fertőzés történhet. Feltételezzük, hogy nagyjából véletlenszerűen találkoznak a személyek. A β paraméter adja meg, hogy milyen valószínűséggel történik fertőzés átadás találkozáskor. A második egyenlet a fertőzöttek számának változását írja le. Egyrészről itt pozitív előjellel szerepel az előbbi kifejezés, azaz, aki meg lett fertőzve, az a fogékonyak népességéből átkerül a fertőzöttekhez. A fertőzöttek a gyógyulással fogynak. Minden időintervallumban alatt a fertőzöttek (I) egy része (γ) meggyógyul. A gyógyultak pedig a fertőzöttekből "keletkeznek" (ez a harmadik egyenlet).

A járvány egy lehetséges lefolyása β=0,5 és γ=0,2 paraméterek mellett. Kezdetben 1000 fogékony egyed és 1 fertőzött volt a populációban.

A pestis, főleg az emberről-emberre közvetlenül terjedő tüdőpestis, elég halálos. Itt nem gyógyultak, hanem halottak vannak az egyenlet utolsó részében. A R helyett legyen D (Death=halottak) és ők természetesen nem számítanak az élők közé, amikor a találkozások valószínűségét osztom a teljes populációmérettel.

Ugyanazon paraméterek mellett a halálozást feltételező modell eredménye. Mindenki kihal. Itt ugyanis az immúnis gyógyultak nem védik a még meglevő fogékonyakat.

Ez utóbbi egyenletrendszer a tanulmányban is szerepel: leírja a tüdőpestis lefolyását. A paraméterek persze mások, a fertőzi együttható, β, 0,001 és 1 között lehet valahol, a betegség 2,5 nap alatt átlagosan elviszi a fertőződött személyt, így 1/γ=2,5.

A bubópestis bolhákon keresztül adódik át, ehhez a bolhának akkor kell a beteg vérét szívnia, amikor abban sok baktérium kering. Ekkor a bolha hordozóvá válik, s fertőzhet egy következő embert, amikor arra átkerül. A bubópestisből ki lehet gyógyulni. Lefolyása lassabb. Így 7 differenciálegyenlettel modellezték ezt a rendszert, ahol a bolhák népességét is külön figyelembe kell venni. Ezek leírásától a kedves olvasót megkímélem most.

Hasonlóan a 10 egyenletet tartalmazó rágcsáló - bolha - ember átadási út egyenleteit is mellőzöm. Ebben az esetben a patkányok között is terjedhet a betegség, amit a bolháik adnak tovább. Egy halott patkányon levő bolhák új gazdát keresnek, s véletlenül emberre is kerülhetnek. Ott szaporodni nem képesek, de megfertőzni az embert igen. Tehát lényegében egy patkánypestis-járvány csordul túl az emberi populációra.

Mindhárom rendszer egyes paraméterei jól becsülhetőek, másokat illesztettek a halálozási adatokra (ez az egyetlen, amit pontosan ismerünk). Majd megállapították, hogy mely egyenletrendszerrel kaphatjuk vissza legjobban az ismert halálozási számokat. Az adatok francia (1348), olasz (1400), spanyol (1490), angol (1563-1564), lengyel (1709), svéd (1710-1711), Orosz (1771) és máltai (1813) adatokra illesztették (zárójelben a járvány ideje).

A legtöbb esetben a bolha/tetű általi átadás modellje jobban illeszkedett az adatokra, mint a többi modell. Két esetben (a francia Givry és az angol Eyam település adatai) nem tudtak szignifikáns különbséget kimutatni, bármelyik modell jól (vagy éppen nem jól) illeszkedett az adatokra.

Ezek az egyenletek nem bonyolultak. Főleg, mert a megoldásukat a számítógépre lehet hagyni (a fenti görbéket én gyártottam le egy rövid kis programmal). Tehát egy nem túl nehéz módszert alkalmaztak kreatívan a szerzők egy történelmi / járványtörténeti kérdés megválaszolására. Hogyan terjedt a közép- és újkorban a pestis? A válasz úgy tűnik, hogy az embereken élő bolhák és tervek terjesztették azokat, s nem a patkányok (bolhái), mint manapság.

Ritkán szólok arról, hogy miért is választok egy cikket a bejegyzéseimhez. Ebben az esetben két oka volt: (1) Az elméleti biológia a szakmám és szeretném megmutatni milyen kérdésekre lehet választ adni modellezéssel. (2) A tanulmány egyik szerzője, a norvég tudományos akadémia volt elnöke, Nils Stenseth, múlt héten Magyarországra látogatott. A norvég és magyar kutatóintézetek keresik a kapcsolatot közös kutatásra. Volt nagyszabású előadássorozat az MTA épületében csütörtökön (feb. 15). Pénteken (feb.16) viszont az Ökológiai Kutatóintézetbe látogatott beszélgetni a kutatókkal, ahol én is jelen lehettem. És ha már pár héttel korábban volt egy érdekes cikke a PNAS-ban, így ez megerősített a választásban, hogy erről írni kell.

Hivatkozott irodalom

Dean, K. R., Krauer, F., Walløe, L., Lingjærde, O. C., Bramanti, B., Stenseth, N. C. és Schmid, B. V. 2018. Human ectoparasites and the spread of plague in Europe during the Second Pandemic. Proceedings of the National Academy of Sciences 115(6): 1304–1309

---

Egy apró Python program az alapmodell tanulmányozására:

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def f(s,t):
    b = 0.5;
    g = 0.2;
    Susceptible = s[0]
    Infected = s[1]
    Recovered = s[2]
    dSdt = - b * Susceptible*Infected/(Susceptible+Infected+Recovered);
    dIdt = b * Susceptible*Infected/(Susceptible+Infected+Recovered) - g*Infected;
    dRdt = g*Infected;
    return [dSdt, dIdt, dRdt]

t = np.linspace(0,200)
start0=[1000,1,0]

s = odeint(f,start0,t)

plt.plot(t,s[:,0],'r--', linewidth=2.0)
plt.plot(t,s[:,1],'b-', linewidth=2.0)
plt.plot(t,s[:,2],'g-', linewidth=2.0)
plt.xlabel("Idö, t")
plt.ylabel("Egyedszám")
plt.legend(["S","I","R"])
plt.show()